อ่านจากศูนย์สูตรเป็น LaTeXDiagram ด้วย Mermaid

อ่าน Numerical Analysis ให้พร้อมทำข้อสอบเต็ม

สรุปและอธิบายจากไฟล์ใน `Assignment` และ `Lecture` ของวิชา Numerical Analysis โดยจัดใหม่ให้เป็นคู่มือสอบ: เข้าใจแนวคิดก่อน จำสูตรที่ต้องใช้ แล้วฝึกทำโจทย์ตามรูปแบบใน mockup/assignment

10PDF ต้นฉบับ
6หมวดหลัก
35+สูตร/ขั้นตอน
3รอบตรวจครบ

วิธีใช้หน้านี้

1อ่านภาพรวมให้รู้ว่าแต่ละวิธีใช้แก้ปัญหาแบบไหน

2จำสูตรในกล่องสีเหลือง และจำเงื่อนไขก่อนใช้สูตร

3ทำตัวอย่างแบบปิดเฉลย แล้วเปิดดูขั้นตอนเทียบ

4ก่อนสอบ อ่านหัวข้อ “เช็คก่อนส่ง” เพราะเป็นจุดหักคะแนนง่าย

เป้าหมายของ Numerical Analysis ไม่ใช่หาคำตอบ exact เสมอ แต่คือหาคำตอบประมาณที่ควบคุม error ได้ และอธิบายขั้นตอนซ้ำได้ด้วยตาราง iteration

แผนที่เนื้อหา

วิชานี้เริ่มจาก “ทำไมคอมพิวเตอร์ต้องประมาณค่า” แล้วต่อไปยังวิธีแก้สมการ, สร้างฟังก์ชันจากข้อมูล, และประมาณพื้นที่ใต้กราฟ

flowchart LR
  A["ข้อมูลจริง / สมการจริง"] --> B["มีความคลาดเคลื่อน"]
  B --> C["Error Analysis"]
  C --> D["แก้ f(x)=0"]
  D --> E["Bisection / Newton / Secant"]
  C --> F["ข้อมูลเป็นจุด"]
  F --> G["Linear / Lagrange / Spline"]
  G --> H["ประมาณค่าและเส้นโค้ง"]
  H --> I["Numerical Integration"]
  I --> J["Rectangle / Trapezoid / Simpson"]

หัวข้อจาก Lecture

Week 2Error analysis, types of numerical problems

Week 3Nonlinear equations: Bisection, Newton-Raphson

Week 5Secant, polynomial/linear/Lagrange interpolation

Week 6Cubic spline, natural cubic spline

Week 7Numerical integration: rectangle, trapezoid, Simpson, 3/8

1. Error Analysis

ทุกคำตอบเชิงตัวเลขมี error ได้ เพราะข้อมูลจริงวัดไม่สมบูรณ์, คอมพิวเตอร์เก็บเลขจำกัด, หรือเราแทนขั้นตอนอนันต์ด้วยขั้นตอนจำกัด เวลาโจทย์ถาม error ให้เริ่มจากแยกก่อนว่า “true value” กับ “approximate value” คืออะไร

Absolute Error \[ E_a = |x_{\text{true}} - x_{\text{approx}}| \] ใช้ตอบว่า “ผิดไปกี่หน่วย”
Relative และ Percentage Error \[ E_r = \frac{|x_{\text{true}} - x_{\text{approx}}|}{|x_{\text{true}}|}, \qquad E_\% = E_r \times 100 \] ใช้ตอบว่า “ผิดมากแค่ไหนเมื่อเทียบกับค่าจริง”
Inherent Error \[ E_{\text{inherent}} = x_{\text{true}} - x_{\text{given}} \] คือ error ที่ติดมากับข้อมูลตั้งแต่ก่อนคำนวณ
Truncation และ Round-off \[ E_{\text{trunc}} = |\text{exact process} - \text{truncated process}| \] \[ E_{\text{round}} = |\text{original number} - \text{rounded number}| \]

Assignment 1: คำตอบตรวจตัวเอง

#โจทย์วิธีคิดสั้นที่สุดคำตอบ
1Actual rod \(2.500\), measured \(2.492\)\(|2.500-2.492|\)Inherent signed \(=0.008\) m, absolute \(=0.008\) m
2True voltage \(220\), measured \(214\)Abs \(=6\), relative \(=6/220\)\(E_a=6\) V, \(E_r=0.02727\), \(E_\%=2.727\%\)
3Area circle \(r=5\), use \(\pi=3.14\)Exact \(=3.14159265(25)\), approx \(=3.14(25)\)Exact \(78.5398\), approx \(78.5\), error \(0.0398\)
4Approximate \(e^1\) by \(1+x\)เมื่อ \(x=1\), approx \(=2\)\(|e-2|=0.71828\)
5Sensor \(98^\circ C\), true \(100^\circ C\)\(|100-98|\)\(2^\circ C\)
6Pressure true \(500\), measured \(490\)Abs \(=10\), relative \(=10/500\)\(10\) kPa, \(0.02\), \(2\%\)
7Round \(12.98765\) to two decimalsRounded \(=12.99\)Round-off error \(=0.00235\)
8\(\sin(0.5)\approx x\)Exact \(\sin(0.5)=0.4794255\), approx \(0.5\)Error \(=0.0205745\)
9Mass actual \(15.000\), measured \(14.950\)\(15.000-14.950\)Inherent signed \(=0.050\) kg, absolute \(=0.050\) kg
10\(\sqrt2\approx1.41\)True \(=1.41421356\)Abs \(0.00421356\), relative \(0.002979\), percent \(0.2979\%\)
เช็คก่อนส่ง: ถ้าโจทย์ถาม “relative/percentage” ห้ามหารด้วยค่า approximate ให้หารด้วย true value ตามสูตรในสไลด์

2. Solving Nonlinear Equations

โจทย์กลุ่มนี้ถามหารากของสมการ \(f(x)=0\) เช่น จุดที่กราฟตัดแกน \(x\). คำตอบมักออกเป็นตาราง iteration จึงต้องเขียนลำดับ \(x_n\), \(p_n\), หรือช่วง \([a,b]\) ให้ครบ

Methodต้องมีอะไรสูตรจุดเด่น/จุดเสี่ยง
Bisectionช่วง \([a,b]\), \(f(a)f(b)<0\), \(f\) continuous\(p=\frac{a+b}{2}\)ชัวร์แต่ช้า เลือกครึ่งช่วงจากสัญญาณ
Newton-Raphsonค่าเริ่ม \(x_0\), derivative \(f'(x)\)\(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)เร็วมากถ้า \(x_0\) ดี แต่พังได้ถ้า \(f'(x_n)\approx0\)
Secantค่าเริ่มสองค่า \(x_0,x_1\)\(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}\)ไม่ต้องหา derivative แต่ห้าม denominator เป็นศูนย์
Fixed-pointแปลงเป็น \(x=g(x)\)\(x_{n+1}=g(x_n)\)ง่าย แต่ converge ต้องมีเงื่อนไขของ \(g\)
False Positionช่วงที่เปลี่ยนเครื่องหมาย\(p=b-\frac{f(b)(b-a)}{f(b)-f(a)}\)ผสม Bisection กับ Secant, บางกรณี endpoint ค้างแล้วช้า

Bisection Method

flowchart TD
  A["เลือก [a,b]"] --> B{"f(a)f(b)<0 ?"}
  B -- "ไม่ใช่" --> C["ใช้ไม่ได้ / เปลี่ยนช่วง"]
  B -- "ใช่" --> D["คำนวณ p=(a+b)/2"]
  D --> E{"f(p)=0 หรือ error เล็กพอ?"}
  E -- "ใช่" --> F["ตอบ p"]
  E -- "ไม่ใช่" --> G{"f(a)f(p)<0 ?"}
  G -- "ใช่" --> H["ตั้ง b=p"]
  G -- "ไม่ใช่" --> I["ตั้ง a=p"]
  H --> D
  I --> D
เช็ค \(f(a)f(b)<0\). ถ้าไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย ห้ามใช้ Bisection แบบรับประกัน
หา midpoint \(p=(a+b)/2\)
แทนค่า \(f(p)\), ดูว่าเครื่องหมายเหมือนฝั่ง \(a\) หรือ \(b\)
เก็บช่วงที่ยังเปลี่ยนเครื่องหมาย แล้วทำซ้ำจนถึงจำนวน iteration หรือ tolerance ที่โจทย์ต้องการ
ตัวอย่างจาก Lecture: \(f(x)=x^3-x-2\) บน \([1,2]\)

เริ่ม \(f(1)=-2\), \(f(2)=4\), จึงมีรากในช่วงนี้

Iteration\(a\)\(b\)\(p\)\(f(p)\)ช่วงใหม่
1121.5-0.125\([1.5,2]\)
21.521.751.609375\([1.5,1.75]\)
31.51.751.6250.666016\([1.5,1.625]\)

สไลด์สรุปรากประมาณ \(x\approx1.521\) หลังทำต่อหลายรอบ

Assignment Week 3: \(f(x)=\cos x-x\) บน \([0,1]\)

\(f(0)=1\), \(f(1)=\cos1-1<0\), ใช้ Bisection ได้

Iteration\(a\)\(b\)\(p\)\(f(p)\)ช่วงใหม่
1010.50.37758\([0.5,1]\)
20.510.75-0.01831\([0.5,0.75]\)
30.50.750.6250.18596\([0.625,0.75]\)

Newton-Raphson Method

สูตรหลัก \[ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] จำเป็นต้องหา derivative ให้ถูกก่อนเริ่ม iteration

Lecture example

\(f(x)=x^3-x-1,\ x_0=1.5\)

\(f'(x)=3x^2-1\)

หลัง 3 iterations ได้ \(x_3\approx1.324718\)

Assignment Week 3

\(f(x)=\cos x-x,\ x_0=0.5\)

\(f'(x)=-\sin x-1\)

\(x_1=0.755222,\ x_2=0.739142,\ x_3=0.739085\)

Mockup Q2

\(f(x)=x^2-6,\ p_0=1\)

\(p_1=3.5,\ p_2=2.607143\)

Mockup Q3

\(f(x)=x^3-2x-1,\ x_0=1.5\)

หลังประมาณ 5 iterations ได้รากใกล้ \(1.61803\)

Secant Method

สูตรหลัก \[ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})} \] ถ้า \(f(x_n)-f(x_{n-1})=0\) สูตรใช้ไม่ได้ทันที ต้องเลือกค่าเริ่มใหม่

Mockup Q4

\(f(x)=x^2-3,\ p_0=3,\ p_1=2\)

\(p_2=1.8,\ p_3\approx1.73684\)

Mockup Q5

\(f(x)=x^3-\cos x,\ x_0=0,\ x_1=1\)

หลัง 5 iterations ได้ \(x\approx0.865473\)

Assignment 2 ข้อ 2

\(f(x)=x^3-2x-5,\ x_0=2,\ x_1=1\)

ลู่เข้าใกล้ \(x\approx2.094551\)

Assignment 2 ข้อ 1: จุดพลาดสำคัญ

\(f(x)=x^4-x-6,\ x_0=0,\ x_1=1\)

\(f(0)=-6,\ f(1)=-6\) ดังนั้น denominator \(=0\). Secant เริ่มด้วยคู่นี้ไม่ได้ ต้องแจ้งว่าเลือกค่าเริ่มใหม่

Fixed-point และ False Position: ในสไลด์เป็นภาพรวม แต่ควรรู้กันพลาด

จาก PDF ที่ให้มา สองวิธีนี้อยู่ใน Week 03 ส่วน “Numerical Methods for Solving Nonlinear Equations” และตาราง comparison แต่ไม่มีตัวอย่างคำนวณละเอียดใน assignment/mockup เท่ากับ Bisection, Newton และ Secant ดังนั้นระดับที่ควรจำคือแนวคิด, สูตร, เงื่อนไข convergence และข้อเสียหลัก

Fixed-point Iteration

เริ่มจากสมการ \(f(x)=0\) แล้วจัดรูปใหม่เป็น

\[ x=g(x) \]

จากนั้นวนซ้ำด้วยสูตร

\[ x_{n+1}=g(x_n) \]

ตัวอย่างการแปลงรูป: ถ้า \(x^2-x-2=0\) อาจจัดเป็น \(x=\sqrt{x+2}\), ดังนั้น \(g(x)=\sqrt{x+2}\)

เงื่อนไขสำคัญ: จะลู่เข้าดีถ้าใกล้รากมี \(|g'(x)|<1\). ถ้า \(|g'(x)|>1\) มักแกว่งหรือหนีออกจากราก

False Position หรือ Regula Falsi

ใช้ช่วงเหมือน Bisection คือต้องมี

\[ f(a)f(b)<0 \]

แต่แทนที่จะใช้ midpoint จะลากเส้นตรงผ่าน \((a,f(a))\) และ \((b,f(b))\), แล้วเอาจุดตัดแกน \(x\) เป็น \(p\)

\[ p=b-\frac{f(b)(b-a)}{f(b)-f(a)} \]

หลังได้ \(p\), เลือกช่วงใหม่ด้วยหลักเดียวกับ Bisection: เก็บฝั่งที่ยังเปลี่ยนเครื่องหมาย

ข้อควรระวัง: บางกรณีปลายช่วงด้านหนึ่งค้างอยู่นาน ทำให้ลู่เข้าช้ากว่าที่คิด

3. Interpolation

Interpolation คือการประมาณค่าที่อยู่ “ระหว่าง” จุดข้อมูลที่รู้แล้ว ต่างจาก extrapolation ที่เดานอกช่วงข้อมูล การสอบมักให้จุดข้อมูลแล้วถามหาค่าที่ \(x\) หนึ่ง หรือให้สร้าง polynomial

Linear Interpolation

\[ y(x)=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0) \] ใช้เมื่อมี 2 จุด หรือข้อมูลดูเป็นเส้นตรงในช่วงสั้น ๆ

Population example

ปี 2000: \(1000\), ปี 2010: \(1500\). ปี 2005 คือกึ่งกลาง

\[ y(2005)=1000+\frac{1500-1000}{2010-2000}(5)=1250 \]

Fuel efficiency example

\((50,15)\), \((100,10)\), ต้องการ \(x=75\)

\[ y(75)=15+\frac{10-15}{100-50}(25)=12.5 \]

Lagrange Interpolation

\[ P_n(x)=\sum_{j=0}^{n} y_jL_j(x), \qquad L_j(x)=\prod_{\substack{m=0\\m\ne j}}^n \frac{x-x_m}{x_j-x_m} \] จุดจำคือ \(L_j(x)\) จะเป็น 1 ที่จุดของตัวเอง และเป็น 0 ที่จุดอื่น
ตัวอย่างสไลด์: จุด \((1,2),(2,3),(4,1)\)

สร้าง quadratic polynomial ผ่านทั้ง 3 จุด:

\[ P(x)=2L_0(x)+3L_1(x)+1L_2(x) \] \[ P(x)=-\frac{2}{3}x^2+3x-\frac{1}{3} \]

เช็คเร็ว: \(P(1)=2,\ P(2)=3,\ P(4)=1\) ครบทุกจุด

ตัวอย่างอุณหภูมิ: 9 AM = 15, 12 PM = 21, 3 PM = 18, หา 1 PM

ใช้ \(x=13\) กับจุด \((9,15),(12,21),(15,18)\)

\[ P(13)=15\frac{(13-12)(13-15)}{(9-12)(9-15)} +21\frac{(13-9)(13-15)}{(12-9)(12-15)} +18\frac{(13-9)(13-12)}{(15-9)(15-12)}=21 \]

ดังนั้นอุณหภูมิประมาณ \(21^\circ C\)

4. Cubic Spline และ Natural Cubic Spline

ถ้าใช้ polynomial ดีกรีสูงผ่านหลายจุด กราฟอาจแกว่งแรง Cubic spline จึงแบ่งช่วงย่อย แล้วใช้ cubic polynomial คนละตัว แต่บังคับให้ต่อกันเนียนที่ node

รูปทั่วไปบนช่วง \([x_j,x_{j+1}]\) \[ S_j(x)=a_j+b_j(x-x_j)+c_j(x-x_j)^2+d_j(x-x_j)^3 \]
Natural boundary \[ S''(x_0)=0,\qquad S''(x_n)=0 \] ปลายเส้นมี curvature เป็นศูนย์

เงื่อนไขที่ spline ต้องผ่าน

1. Interpolation

\(S_j(x_j)=f(x_j)\) และ \(S_j(x_{j+1})=f(x_{j+1})\)

2. First derivative

\(S'_j(x_{j+1})=S'_{j+1}(x_{j+1})\)

3. Second derivative

\(S''_j(x_{j+1})=S''_{j+1}(x_{j+1})\)

สูตรคำนวณแบบ coefficient

ให้ \(h_j=x_{j+1}-x_j\) และ \(a_j=f(x_j)\). หลังแก้ค่า \(c_j\) จากระบบสมการแล้ว: \[ b_j=\frac{a_{j+1}-a_j}{h_j}-\frac{h_j}{3}(c_{j+1}+2c_j), \qquad d_j=\frac{c_{j+1}-c_j}{3h_j} \]
ระบบสมการภายในสำหรับ natural spline: \[ h_{j-1}c_{j-1}+2(h_{j-1}+h_j)c_j+h_jc_{j+1} =3\left(\frac{a_{j+1}-a_j}{h_j}-\frac{a_j-a_{j-1}}{h_{j-1}}\right) \] โดย \(c_0=c_n=0\)
Lecture example: natural spline ผ่าน \((1,2),(2,3),(3,5)\)

ผลลัพธ์จากสไลด์:

\[ S(x)= \begin{cases} 2+\frac{3}{4}(x-1)+\frac{1}{4}(x-1)^3, & 1\le x\le2\\ 3+\frac{3}{2}(x-2)+\frac{3}{4}(x-2)^2-\frac{1}{4}(x-2)^3, & 2\le x\le3 \end{cases} \]

เช็ค natural: \(S''(1)=0\), \(S''(3)=0\), และที่ \(x=2\) ค่า, slope, curvature ต่อกัน

Assignment Week 6 ข้อ 1: \(f(0)=0,\ f(1)=1,\ f(2)=2\)

ข้อมูลเป็นเส้นตรง \(y=x\). Natural cubic spline ที่ง่ายที่สุดคือ

\[ S(x)=x \]

หรือเขียนแยกช่วงได้เป็น \(S_0(x)=x,\ 0\le x\le1\) และ \(S_1(x)=x,\ 1\le x\le2\)

Assignment Week 6 ข้อ 2: หา \(b,c,d\)

โจทย์ให้

\[ S(x)= \begin{cases} S_0(x)=1+2x-x^3, & 0\le x<1\\ S_1(x)=2+b(x-1)+c(x-1)^2+d(x-1)^3, & 1\le x\le2 \end{cases} \]

ใช้ความต่อเนื่องที่ \(x=1\):

\[ S'_0(x)=2-3x^2 \Rightarrow S'_0(1)=-1=b \] \[ S''_0(x)=-6x \Rightarrow S''_0(1)=-6=2c \Rightarrow c=-3 \]

ใช้ natural endpoint ที่ \(x=2\). เมื่อ \(t=x-1\), \(S''_1(x)=2c+6dt\). ที่ \(x=2\), \(t=1\):

\[ 2(-3)+6d=0 \Rightarrow d=1 \]

คำตอบ: \(b=-1,\ c=-3,\ d=1\)

5. Numerical Integration

Numerical integration ใช้ประมาณ \(\int_a^b f(x)\,dx\) เมื่อหาปริพันธ์ exact ยาก หรือมีแค่ค่าจากตาราง จุดหลักคือแบ่งช่วงเป็น \(n\) ส่วน ความกว้าง \(h=\frac{b-a}{n}\)

Ruleสูตรเงื่อนไขจากสไลด์
Rectangle\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\approx h\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)\)ใช้ left endpoints ในสไลด์\(\int_0^2x^2dx,\ n=2\Rightarrow1.0\)
Composite Trapezoidal\(\displaystyle T_n=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]\)ใช้ได้กับ \(n\) ใด ๆ\(\int_0^2e^{-x^2}dx,\ n=4\Rightarrow0.8806\)
Simpson 1/3\(\displaystyle \frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)]\)ต้องมี 2 subintervals ต่อหนึ่งชุด; composite ต้อง \(n\) เป็นเลขคู่\(\int_1^2\ln x\,dx\Rightarrow0.3858\)
Simpson 3/8\(\displaystyle \frac{3h}{8}[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)]\)ต้องมี 3 subintervals ต่อหนึ่งชุด\(\int_0^3\frac{1}{1+x^2}dx\Rightarrow1.2\)

Error estimates จากสไลด์

\[ E_{\text{rect}}\approx-\frac{(b-a)h}{2}f'(\xi) \]
\[ E_{\text{trap}}\approx-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi) \]
\[ E_{\text{Simpson}}\approx-\frac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi) \]
\[ E_{3/8}\approx-\frac{(b-a)h^5}{80}f^{(4)}(\xi) \]
Mockup Q7: Trapezoidal Rule กับ \(\int_0^2(x^2+1)dx,\ n=4\)

\(h=\frac{2-0}{4}=0.5\), nodes คือ \(0,0.5,1.0,1.5,2.0\)

\[ f(x)=x^2+1 \Rightarrow 1,\ 1.25,\ 2,\ 3.25,\ 5 \] \[ T_4=\frac{0.5}{2}[1+2(1.25+2+3.25)+5]=4.75 \]

Exact:

\[ \int_0^2(x^2+1)dx=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^2=\frac{14}{3}\approx4.6667 \]

Absolute error \(=|4.75-4.6667|\approx0.0833\)

6. วิธีทำข้อสอบให้ได้คะแนน

ก่อนใช้สูตร

เขียนเงื่อนไขก่อน เช่น \(f(a)f(b)<0\), \(f'(x)\), \(h=\frac{b-a}{n}\), หรือ \(n\) เป็นเลขคู่สำหรับ Simpson

ระหว่างคำนวณ

ทำตาราง iteration: ค่าเดิม, ค่าใหม่, \(f(x)\), และ decision ว่าช่วงใหม่คืออะไร

ก่อนส่ง

ตอบด้วยหน่วย, จำนวน iteration ตามโจทย์, และ absolute/relative error ถ้าโจทย์ถาม

สูตรที่ควรจำก่อนเข้าห้องสอบ

\[ E_a=|x_t-x_a|,\quad E_r=\frac{E_a}{|x_t|},\quad E_\%=100E_r \]
\[ p=\frac{a+b}{2},\quad x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]
\[ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})} \]
\[ y=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0) \]
\[ P_n(x)=\sum_{j=0}^ny_jL_j(x) \]
\[ T_n=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right] \]

เช็คครบ 3 รอบ

รอบที่ 1: Coverage จาก PDF

ครบError analysis, nonlinear equations, bisection, Newton-Raphson, secant, fixed-point, false position, linear interpolation, Lagrange, cubic spline, natural spline, rectangle, trapezoidal, Simpson 1/3, Simpson 3/8

ครบAssignment 1, Assignment 2, Week 3 practice, Week 6 practice, Mockup Midterm เฉลย

รอบที่ 2: สูตรและสัญลักษณ์

ครบทุกสูตรคณิตนำเสนอด้วย LaTeX ตามที่ขอ

ครบจุดที่ extraction เพี้ยนถูกตรวจจากภาพ render ของ PDF แล้ว: Assignment 2, Week 3, Week 6

รอบที่ 3: อ่านแล้วทำข้อสอบได้ไหม

ครบมีขั้นตอนทำคะแนน, ตัวอย่างจากสไลด์, คำตอบตรวจตัวเอง, และจุดพลาดสำคัญ

ครบมี Mermaid diagram สำหรับ flow การอ่านและ Bisection

แหล่งอ้างอิงในเครื่อง

  • Assignment/Assignment 1 Errors.pdf
  • Assignment/Assignment 2.pdf
  • Assignment/Assignment for the student to practice (Week 3) (2).pdf
  • Assignment/Assignment for the student to practice (Week 6).pdf
  • Assignment/Quiz 2 (Mockup Midterm) เฉลย.pdf
  • Lecture/Numerical Analysis (Week 2_Student) (1).pdf
  • Lecture/Numerical Analysis_Slide_Week 03 - Student (1).pdf
  • Lecture/Week 5 Numerical Analysis_Teacher (Edit Version) (1).pdf
  • Lecture/Week 6 Numerical Analysis (Student) (1).pdf
  • Lecture/Week 7 Numerical Analysis - Student (2).pdf